Categories
General

Hiệu ứng con bướm có không?

Lâu nay người ta tin rằng các dự báo thời tiết không thể sớm trước hai tuần do có “hiệu ứng con bướm”. Cơ học thống kê đã bác bỏ “tín điều” đó.

Cái đập cánh của một con bướm không thể làm khởi phát bão tố, trái với ý tưởng rất được phổ biến hiện nay. Những hiệu ứng thống kê đã vào cuộc trong những diễn biến của khí quyển: sự chảy rối được tổ chức lại và sự nhảy cảm đối với các điều kiện ban đầu biến mất. Do đó, người ta có thể hy vọng sẽ dự báo được thời tiết vượt ra ngoài khoảng thời gian hai tuần định mệnh mà Lorenz – tác giả của hiệu ứng con bướm đã đưa ra.

Trong khi sự thanh bình tĩnh lặng trên đỉnh Olympia dành cho các vị thần, thì con người từ lâu đã trăntrở phỏng đoán không biết mảnh trời nào sẽ có nguy cơ sập xuống đầu họ. Trong hai thiên niên kỉ, các hệ thống dự báo đã phát triển từ việc giải mã những sách sấm truyền, dựa trên những vật tế thần bằng động vật, thậm chí cả con người, tới những mô hình lý thuyết và tính toán bảng số.

Cơ học thiên thể là trung tâm những hoạt động khoa học của thế kỷ XIX và dự báo khí tượng đã lấy sức bật của nó vào thế kỷ XX. Tuy nhiên, nó đã vấp phải những khó khăn nghiêm trọng liên quan tới việc mô hình hoá các hiện tượng của khí quyển cũng như tới việc xử lý các phương trình rất phức tạp thu được. Đối mặt với những trở ngại đó, tinh thần lạc quan của những năm l950 đã chuyển dần trong những năm 1960 thành tâm trạng bi quan quá đáng, gắn liền với một cái tên thật lãng mạn, đó là “hiệu ứng con bướm”.

Quyết định luận Laplace

Trong lịch sử dài lâu của công việc dự báo, dù là dự báo thời tiết hay dự báo về chuyển động của các thiên thể, một thời điểm cực kì quan trọng đó là phát minh của Newton ở thế kỉ XVII về các phương trình chi phối chuyển động của các hành tinh: biết vị trí và vận tốc của một hành tinh ở một thời điểm đã cho, ta có thể xác định được các điểm thuộc qũy đạo của nó ở mọi thời điểm sau. Vì tất cả các hệ cơ học đều tuân theo những phương trình thuộc cùng một loại, nên trạng thái ban đầu của một hệ hoàn toàn quyết định tương lai của nó. Ý tưởng này đã được Laplace truyền bá tới mức nó trở thành một hệ tư tưởng, đó là quyết định luận Laplace, mà theo nó không có cái gì mới có thể xảy ra mà lại không được chứa đựng trong những diều kiện ban đầu. Bài toán dự báo khi đó dường như đã được quyết định, ít nhất cũng là về mặt lí thuyết.

Trong nửa sau của thế kỷ XIX quyết định luận Laplaceđã gặp khó khăn khi các nhà toán học tiến hành tính toán qũy đạo của các thiên thể. Henry Poiacaré, rồi Jacques Hadamard đã phát hiện ra rằng những hệ khá đơn giản, như hệ gồm ba vật hút nhau bằng lực hấp dẫn, cũng đã cho những quỹ đạo rất phức tạp và đối với nhiều hệ, một sự biến thiên, dù là nhỏ nhất, của vị trí và vận tốc ban đần cũng làm nảy sinh những sai khác đáng kể của quỹ đạo. Vì người ta không bao giờ biết được trạng thái ban đầu một cách hoàn toàn chính xác, nên ta không thể xác định được sự tiến hóa của những hệ đó ở ngoài một khoảng thời gian nhất định. Những công trình này là những công trình sơ khai của lý thuyết hỗn độn (chaos), một thuyết được phát triển bắt đầu từ nhũng năm l970 và nghiên cứu sự tiến hóa theosự bất định của trạng thái ban đầu. Bắt đầu từ những năm l980, các nhà thiên văn đã chứng minh được rằng không thể biết được trạng thái của hệ mặt trời ngoài phạm vi 100 triệu năm tới. Bên ngoài đường “chân trời” đó, trong những tính toán sẽ cần phải tính đến dạng cửa các thiên thể, các hiệu ứng thủy triều, và rất nhiều các tham số khác. Phát minh nay là đòn trí mạng đối với quyết định luận Laplace.

Bây giờ ta quay trở lại khí tượng học: trong những năm l950, dự báo thời tiết “hiện đại” – một công việc khoa học đầy tham vọng – đã bắt đầu được hình thành. Nó tập hợp từ vật lý để mô hình hóa khí quyển, đến toán học, các kĩ thuật bằng số và cả tin học. Vào đầu nhũng năm 1960, những máy tính có hiệu năng cao đầu tiên đã mất hiện và cho phép thực hiện được những tính toán mà trước đó không thể làm được. Nhà khí tượng học người Mỹ Edward Lorenzkhi đó mới bắt đầu nghiên cứu một mô hình đơn giản hóa về sự đối lưu của khí quyển, dựa trên các phương trình cổ điển về sự đối lưu của các chất lưu. Mô hình của ông mới chỉ có ba bậc tự do, tức là ba ẩn số và được thâu tóm trong ba phương trình vi phân ba biển số. Khi thử dự báo về sự tiến hoá mô hình của mình trong một khoảng thời gian dài, ông nhận thấy rằng không thể tính được một cách chính xác, vì một nhiễu động ban đầu dù nhỏ nhất của hệ cũng sẽ có tác dụng đáng kể trong thời gian dài và dẫn đến sụ bất định về trạng thái tương lai của nó, một sự bất định tăng theo hàm mũ với thời gian. Ngoài ra, khi biểu diễn trạng thái của hệ bằng một điểm di chuyển trong không gian (gợi là không gian pha), Lorenz còn thấy rằng, theo thời gian, điểm này vẽ nên một đường cong dường như tự cuộn lại xung quanh một vật có cấu trúc phức tạp, có tên là “nhân hút lạ” và ngày nay gọi là nhân hút Lorenz.

Sau đó, Lorenz đã tấn công sang bài toán hoàn lưu của khí quyên ở thang lớn hơn . Nhìn từ xa, khí quyển trông giống như một màng khí mỏng bao quanh trái đất. Trong phép gần đúng đầu tiên, LorenzLorenz tìm thấy sự nhạy theohàm mũ đối với các điều kiện đầu: cứ mỗi khi thời gian tăng một lượng cho trước thì kích cỡ của nhiễu động tăng gấp đôi. Khi đó, ông nghĩ rằng, đối với một số nhỏ bậc tự do, mà tương lai còn khó tiên đoán như vậy, thì tình hình sẽ chỉ càng xấu đi với mô hình gán với khí quyển hình gần với khí quyển thực hơn, tức là sẽ chứa nhiều bậc tư do hơn (như áp suất, các thành phần của vận tốc gió, độ ẩm… và bấy nhiêu ẩn số lại phải được xác định ở một điểm trên trái đất). xem rằng đây là một chất lưu lý tưởng, tức là không có độ nhớt (ở thang kích thước lớn, thực ra độ nhớt phân tử đóng vai trò không đáng kể) và xét bài toán hai chiều. Ông chỉ dùng một số nhỏ bậc tự do (khoảng vài chục) để cho bài toán được đơn giản. Lại một lần nữa

Hiệu ứng con bướm ra khỏi cái kén của nó

Với những công trình đó, Lorez đã tìm lại được những ghi nhận của Poincaré và Hadamard, tức là người ta không phải bao giờ cũng có thể tính được sự tiến hóa của một hệ đơn giản. Đóng góp của ông là đã chứng minh được rằng tính không tiên đoán được không chỉ liên quan với cơ học thiên thể mà cả với các dòng chảy của khí quyền. Một người phản đối, mà hiện không biết là ai, khi đó có nói với Lorenz rằng nếu chuyển động của khí quyển cũng không ổn định như vậy thì chỉ cần cái đập cánh của con mòng biển cũng đủ làm thay đổi căn bản sự tiến hóa của nó. Lorenzcũng đế luôn rằng đúng là như thế và tính ngay ra sự thay đổi đó sẽ diễn ra trong khoảng hai tuần lễ. Từ cuộc tranh luận này, con mòng biển đã biến thành con bướm và hiệu ứng con bướm ra đời từ đó: một sự kiện, như cú đập cánh của con bướm ở một điểm nào đó trên trái đất, hai tuần sau, sẽ làm nó ra một cơn bão tố ở một điểm khác rất xa. Rõ ràng, vì người ta không thể biết trạng thái của tất cả các con bướm tại một thời điểm đã cho, nên sự dự báo trạng thái của khí quyển ngoài phạm vi 15 ngày là không thể làm được.

Cũng khoảng thời gian đó, nhà toán học Nga Vladimir Arnold trong khi phát triển những ý tưởng của người thay của mình là viện sĩ Andrei Kolmogorovđã thiết lập được mối liên hệ giữa thủy động lực học của một chất lưu và các mặt cong âm của Hadamard. Các mặt cong âm này tại mọi điểm của nó đều cho một profin giống như hình chiếc yên ngựa. Ta hãy xét một hòn bi nhỏ trượt không ma sát trên một mặt như vậy. Xuất phát từ một điểm bất kỳ mà người ta đặt nó, hòn bi, khi được buông ra với một vận tốc ban đau nào đó, sẽ vẽ nên một qũy đạo rất xác định. Tập hợp những qũy đạo mà người ta nhận được bằng cách thay đổi vị trí xuất phát và vận tốc ban đầu được gọi là “dòng chảy trắc địa” (nói nôm na là dòng chảy có thời gian ngắn nhất), Hadamard đã chứng minh được rằng chuyển động của hòn bi trên mặt có độ cong âm là không ổn định kiểu hàm mũ: khi hơi dịch một chút vị trí xuất phát hoặc thay đổi chút vận tốc ban đầu thì qũy đạo một sẽ rất nhanh chóng tách ra xa qũy đạo cũ (chẳng hạn, hòn bi có thể trượt về phía bên này hoặc phía bên kia của hình yên ngựa). Trên thực tế, người ta không thể tính được qũy đạo của hòn bi ở ngoài một khoảng thời gian ngắn.

Arnoldđã đưa bài toán về sự không ổn định thủy động lực học về bài toán “đơn giản hơn” là tính độ cong. Ý tưởng của ông là mô tả chuyên động của một chất lưu lý tưởng như chuyển động của một điểm trên một “mặt”. Mặt này là rất đặc biệt, vì nó có vô hạn chiều (tuy nhiên trên đó vẫn có thể định nghĩa độ cong và dòng chảy trắc địa). Nói một cách khác, vận tốc gió tại mỗi thời điểm và ở một điểm của khí quyến (còn gọi là trường vận tốc) sẽ được mô tả bởi sự dịch chuyển của một hòn bi trên mặt đó. Arnoldthậm chí còn tính được độ cong của mặt đó và chứng minh được rằng chuyển động của các chất lưu lý tưởng là tương tự với các dòng chảy trắc địa của Hadamard.

Tình hình rõ ràng là phức tạp hơn, nhưng những tính toán chỉ ra rằng thường xảy ra hơn cả là quỹ đạo của các hạt chất lưu ban đầu ở cạnh nhau, nhưng với thời gian sẽ tách ra xa nhau theo hàm mũ.

Như vậy, vào cuối những năm l960, người ta đã bổ sung thêm hai kết quả quan trọng cho các ghi nhận của Poinearé và Hadamard ở cuối thế kỉ XIX về tính nhạy cảm của các hệ động lực đối với các điều kiện đầu: đó là sự mô phỏng bằng số của Lorenz về sự hoàn lưu của khí quyển chứa tới vài chục bậc tự do và sau đó là những nghiên cứu lý thuyết của Amold về hệ có vô số bậc tự do và chứng minh được tính không ổn định kiểu hàm mũ của qũy đạo các hạt chất lưu.. Những kết quả này cộng với những khó khăn trong thực tiễn dự báo thời tiết đã làm nảy sinh ý tưởng cho rằng chuyển động của khí quyển là không thể dự báo được do độ nhạy kiểu hàm mũ đối với các điều kiện đầu: hiệu ứng con bướm nổi tiếng đã cất cánh .Hình ảnh hiện ứng con bướm vừa thơ mộng vừa dễ hiểu đã nhanh chóng được lan truyền trong công chúng và trở thành một hình mẫu mới thay thế cho quyết định luận của Laplace. Nó lan truyền cả vào những lĩnh vực khác (như kinh tế, xã hội học…) và mới gợi chúng ta suy nghĩ lại về thế giới thông qua ngôn ngữ “hiện đại” của hỗn độn , của độ phức tạp và tính không tiên đoán được. Tuy nhiên, nếu xem xét một cách kỹ lưỡng hơn, hiệu ứng con bướm sẽ không thể chống chọi nổi sự phân tích được đẩy xa hơn.

Hiệu ứng con bướm đập cánh

Trong suốt mấy thập niên trở lại đây, các nhà khí tượng học đã tập trung nghiên cứu sự lan truyền của sai số ban đầu trong mô hình dự báo thời tiết của họ và họ đã thấy rằng sau một thời gian ngắn cỡ một hoặc hai ngày, sự tăng của các nhiễu động không phải theo hàm mũ như Lorenz đã tiên đoán mà là tỉ lệ thuận với thời gian. Đây là một quan sát không phù hợp với hiệu ứng con bướm. Chúng ta hãy thử phân tích xem sự mâu thuẫn này có nguồn gốc từ đâu.

Trong cách làm của mình Lorenz đã phạm một sai lầm. Nói một cách chính xác hơn, ông đã ngoại suy hơi quá trớn và điều này đã dẫn ông tới những kết luận sai lầm. Thực vậy, ông đã không tính đến các hiện tượng mới có nguồn gốc thống kê dễ xuất hiện khi ta chuyển từ một số nhỏ sang một số rất lớn bậc tự do. Đây chính là nền tảng của cơ học thống kê đã được Boltzmaun phát minh vào cuối thế kỷ XIX. Ta hãy lấy một ví dụ quen thuộc: xét bốn hoặc năm phân tử khí nhốt trong một hộp kín. Chúng sẽ tương tác với nhau và tương tác với thành hộp. Để mô tả hành trạng của hệ bé nhỏ này trong thời gian dài, ta sẽ vấp phải chính những khó khăn trong tính toán mà Lorenz đã vấp phải: ta sẽ không dự báo được qũy đạo của các phân tử.

Trái lại, bây giờ ta xét hệ tạo bởi tất cả các phân từ khí có mặt trong phòng. Rõ ràng là, nếu ta muốn mô tả chính xác chuyển động của tất cả các phân tử, thì đây là một nhiệm vụ không thể kham nổi. Trái lại, nếu ta chỉ quan tâm tới các giá trị trung bình (như mật độ, áp suất, nhiệt độ), thì ta thấy rằng những đại lượng có bản chất thống kê có thể tiên đoán được trong thời gian dài. Ví dụ, ta có thể tiên đoán với sai số tối thiểu rằng mật độ khí sẽ đồng đều và không đổi trong toàn phòng. Sở dĩ như vậy là vì, nếu hệ đủ hôn độn, các phân tử có xu hướng chiếm toàn bộ không gian có sẵn. Nói một cách khác, thậm chí nếu ban đầu ta có đặt tất cả các phân tử vào một góc phòng, thì do chuyển động hỗn loạn của mình chúng cũng sẽ không ở đó mãi mãi. Người ta dùng thuật ngữ “các đại lượng quan sát được ở thang vĩ mô” để chỉ các đại lượng trung bình thống kê như áp suất, nhiệt độ, đối lập với các qũy đạo cá thể của các phân tử là cái “quan sát được ở thang vi mô”. Tóm tắt lại, bài học của Boltzmann là: với một số lớn bậc tự do, mặc dù hệ có thể là không nên đoán được ở thang vi mô, nhưng các đại lượng quan sát được ở thang vĩ mô là có thể nên đoán được. Trước khi đi xa hơn, ta hãy làm một cuộc dạo chơi trong lĩnh vực chảy rối vì khí quyển là một chất lưu chảy rối.

Chảy rối và cấu trúc kết hợp

Chảy rối chuyển động phức tạp và hỗn độn của một chất lưu – xuất hiện trong hầu hết các dòng chay trừ khi ma sát nhớt chiếm ưu thế. Trong trường hợp đó, dòng chảy có trật tự hơn và người ta nói nó chạy theotầng. Trên thực tế, những dòng chảy mà ta quan sát thấy xung quanh (như các con sóng, các dòng không khí…) đều là những dòng chảy rối, kể cả những dòng khí quyển và đại dương.

Ta sẽ quan tâm tới một lớp đặc biệt các dòng chảy rối hai chiều, tức là xảy ra trên một mặt phẳng hay một mặt nào đó. Đây không phải là một mô hình tưởng tượng, mà là một phép gần đúng có cơ sở đối với một chất lỏng chứa trong một bình quay nhanh hoặc đối với một chất lỏng được giữ trong một lớp có bề dày nhỏ. Chuyển động của khí quyển và đại dương được xem như những dòng chảy hai chiều vì bề dày của chất lưu nhỏ không đáng kể so với bề rộng của chúng.

Chúng ta cũng giả thiết rằng dòng chảy của khí quyển là không nén, điều này đã được kiểm chứng ở thang toàn cầu cả trong khí quyển lẫn trong đại dương. Trong trường hợp đó, động lực học dòng chảy được xác định bởi một đại lượng có tên là “độ xoáy”, xác định tại mỗi điểm của chất lưu. Nó là độ đo vận tốc quay riêng của mỗi điểm thuộc chất lỏng: một điểm được biểu diễn bằng một con quay nhỏ quay quanh mình nó. Như vậy có thể xem chất lưu được tạo bỏi rất nhiều con quay, nhưng tất cả con quay không có vận tốc quay như nhau. Khi chất lưu chảy các con quay cũng dịch chuyển theo. Nhưng trong các dòng chảy mà ta nghiên cứu độ xoáy của một hạt chất lỏng không thay đổi, tức các con quay luôn giữ cùng một vận tốc quay vì ma sát do độ nhớt nhỏ không đáng kể. Khi ở thang nhỏ, chuyển động là hỗn loạn, nhưng ở thang lớn, ta thay các dòng chảy rối hai chiều không nén được tổ chức lại và những cấu trúc cuộn xoáy lớn xuất hiện được gọi là những “cấu trúc kết hợp”. Những cấu trúc này được tạo bởi một cuộn xoay duy nhất, hoặc hai cuộn xoáy dính vào nhau và quay ngược chiều nhau, hoặc ba… hoặc nhiều hơn. Chúng trải rộng trên hàng ngàn kilômét trong khí quyển mà ta có thể quan sát thấy mỗi ngày. Một ví dụ ngoạn mục về cấu trúc nói trên là chấm đỏ lớn trên sao Mộc. Đây thực chất là một cuộn xoáy khổng lồ có đường kính cỡ 20.000km, được tạo ra trong lớp chất lưu mỏng ở bề mặt của hành tinh này.

Sự tạo thành một cách hệ thống các cấu trúc kết hợp như vậy là một đặc trưng của các dòng chảy hai chiều. Chúng xuất hiện và duy trì trong lòng một dòng chảy rất hỗn độn, điều này một thời gian dài đã làm đau đầu nhiều nhà quan sát. Tại sao chúng lại không bị sự chảy rối rất mạnh bao quanh làm cho tan rã?

Một cuộn xoáy, trong một con sông chẳng hạn, được đặc trưng cục bộ bởi một độ xoáy cao, tức là nhiều con quay cùng chiều cụm lại một chỗ. Sự mô tả một cuộn xoáy sơ cấp như thế chưa đủ để cho ta hiểu được sự tổ chức của hệ thống các cuộn xoáy kết hợp. Thực vậy, các cuộn xoáy tương tác với nhau rất phức tạp, và đôi khi võ thành nhiều mảnh. Tuy nhiên, sự chảy cuối cùng sẽ được tổ chức thành một số cấu trúc đơn giản và duy trì theo thời gian. Nhờ những mô phỏng bằng số được tiến hành trong khoảng 20 năm trở lại đây, người ta đã có thể tái tạo được sự xuất hiện của các cuộn xoáy ổn định trong lòng một dòng chảy rối.

Năm 1949 nhà vật lí người Mỹ Lars Onsagerđã nhận xét rằng, động năng của một chất lưu được bảo toàn trong dòng chảy rối hai chiều. Khi đó, ông đề xuất rằng các cuộn xoáy ổn định cần phải được mô tả như các trạng thái cân bằng thống kê, bằng cách mỏ rộng cơ học thống kê của Boltzmann cho các chất lưu lý tưởng. Tuy nhiên, trong thời gian dài việc tính toán vấp phải những khó khăn về mặt lý thuyết. Vấn đề chỉ được giải quyết khi người ta đưa vào hai cấp độ mô tả chuyển động. Cấp độ thú nhất, vĩ mô, quan tâm tới chuyển động ở thang lớn, tức là nhìn từ xa và bỏ qua các chi tiết (cấp độ này tương ứng với thang hàng ngàn kilômét đối với khí quyển), cấp độ thứ hai, vi mô, mô tả những cái xảy ra ở thang nhỏ (cỡ vài chực klômét) – thang mà sự hỗn độn chảy rối nảy nở. Theo phương pháp của Boltzmann, ta định nghĩa một entropy – đại lượng đặc trung cho mức độ hỗn độn, ở đây là sự hỗn độn gắn liền với sự chảy rối: entropy thống kê của một trạng thái vĩ mô nhận được bằng cách tính số trạng thái vi mô khả dĩ tạo nên trạng thái vĩ mô đó. Entropy sẽ càng lớn nếu số trạng thái vi mô càng nhiều, do đó hỗn độn càng mạnh. Sau đó, ta sẽ tìm các trạng thái vĩ mô của hệ có xác suất lớn nhất là các trạng thái làm cho entropy cực đại. Những trạng thái này của khí quyển sẽ tương ứng với các cấu trúc cuộn xoáy kết hợp.

Chúng ta bây giờ sẽ mô tả chính xác hơn kịch bản tạo thành các cấu trúc kết hợp. Trong trạng thái ban đầu độ xoáy biến thiên một cách đều đặn từ điểm này đến điểm lân cận của chất lưu: các con quay gần như quay với vận tốc tương tự. Sẽ chảy rối đã tạo ra một chuyển động phức tạp ở thang nhỏ. Theo mức độ mà sự chảy rối phát triển, các con quay với vận tốc quay khác nhau sẽ trộn lẫn vào nhau. Khi đó độ xoáy sẽ dao động một cách hỗn loạn từ điểm này đến điểm khác lận cận: một con quay quay chậm sẽ được xếp kề với một con quay quay rất nhanh. Và ta sẽ không thể dự báo được độ xoáy của các điểm của chất lưu. Tuy nhiên, những dao động không kết hợp này ở thang nhỏ, sẽ kéo theo sự tạo thành những cấu trúc ở thang lớn.

Sự chuyển từ độ xoáy (một biến vi mô) tới trường vận tốc (một biến vĩ mô) của khí quyển, cũng tương tự như sự chuyên từ chuyển động của các phân tử khí sang áp suất: sự dịch chuyển hỗn loạn của các phân tử đã thúc đẩy chúng chiếm đồng đều không gian và áp suất xuất hiện từ những va chạm của các phân tử với thành bình. Người ta tính được giá trị áp suất này bằng cách tính số va chạm trưng bình vào thành bình, và nó có một giá trị rất xác định và đồng đều khắp nơi trong bình. Tương tự, người ta cũng suy ra trường vận tốc của dòng chảy bằng cách tính giá trị trung bình thống kê của các độ xoáy. Tuy nhiên, trường vận tốc được tính như thế sẽ không đồng đều, mà làm xuất hiện các cuộn xoay có tổ chức.

Việc đưa cơ học thống kê vào nghiên cứu các dòng chảy hai chiều chứng tỏ rằng, trường vận tốc (một biến vĩ mô) về lý thuyết là có thể tiên đoán được. Điều này liệu có mâu thuẫn với những tính toán của Arnold không? Hoàn toàn không. Bởi vì những tính toán của ông chứng tỏ rằng các qũy đạo (vi mô) của các hạt là không ổn định theohàm mũ với thời gian, tức là các qũy đạo sẽ phân kỳ bằng cách trộn lẫn những con quay quay chậm với các con quay quay nhanh. Hiện tượng này gây ra những dao động hỗn độn về độ xoáy ở thang nhỏ và rút cục, những dao động hỗn độn này sẽ làm nảy sinh một trường vận tốc tiên đoán được ở thang vi mô.

Những dự báo dài hạn

Chúng ta đã kiểm chứng cách tiếp cận này bằng cách thực hiện những mô phỏng bằng số cho phương trình chất lưu lý tưởng hai chiều và dùng một số lớn bậc tự do. Nói một cách khác là chúng ta làm lại những tính toán của Lorenz, nhưng một số lớn bậc tự do thay vì chỉ có vài chục như trước. Để làm điều đó chúng ta chọn một điều kiện ban đầu, xác định độ xoáy tại mọi điểm, rồi để mặc cho hệ tiến triển. Trạng thái ban đầu cụ thể nào sẽ cho nảy sinh những cấu trúc có tổ chức sau một pha chuyển tiếp diễn ra rất nhanh. Bằng cách thay đổi trạng thái ban đầu, người ta nhận được hai loại trạng thái cuối cùng: hoặc là một cấu trúc kết hơn ba cực, tức là ba cuộn xoay dính với nhau được kích thích bởi chuyển động toàn cực quay đều (xem hình 6d) hoặc là bốn cuộn xoáy tạo thành hai cặp quay ngược chiều nhau, mọi cặp gồm hai cuộn xoáy dính với nhau và truyền theo một đường thẳng với vận tốc không đổi. Những cấu trúc như vậy đã được quan sát thay trong khí quyển và đại dương.

Thế còn hiệu ứng con bướm? Trên những mô phỏng trước, người ta thực hiện một nhiễu động nhỏ đối với các điều kiện ban đầu. Trong trường hợp ba cuộn xoáy, nhiễu động này không có ảnh hưởng gì đến sự tạo thành các cấu trúc: người ta vẫn tìm lại được ba cuộn xoáy đó dính với nhau. Khi tính toán sự tiến hoá theothời gian của năng lượng nhiễu động, người ta thấy rằng nó ổn định rất nhanh và còn rất nhỏ so với năng lượng toàn phần của hệ. Trong trường hợp thứ hai (tức trường hợp 4 cuộn xoáy) nhiễu động cũng không ảnh hưởng gì rõ rệt và người ta cũng vẫn tìm lại được hai cặp cuộn xoáy. Tuy nhiên, khác với trường họp trước, lần nay năng lượng của nhiễu động tăng tuyến tính theo thời gian. Cũng tồn tại một trường hợp thứ ba, trường hợp ngoại lệ, và đây cũng là trường hợp tới hạn, là ranh giới giữa hai trường hợp trước, trong đó hệ còn “lưỡng lự, phân vân” không biết chọn trạng thái cuối cùng nào. Trong trường hợp đó và cũng chỉ trong trường hợp đó, các hệ bị nhiễu động hay không bị nhiễu động mới có hành trạng khác biệt hẳn nhau. Năng lượng nhiễu động ban đầu tiến triển như trong hai trường hợp trước, nhưng rồi nó đột ngột tăng vọt theohàm mũ. Do đó, ta thay rằng sự không ổn định kiểu hàm mũ chỉ xuất hiện trong tình huống ngoại lệ nay, tình huống được gọi là sự chuyển pha, trong đó hệ lưỡng lự giữa hai con đường khả dĩ.

Nếu chúng ta làm lại những tính toán trên, nhưng chỉ giam số bậc tự do (còn các thứ khác vẫn giữ như cũ) thì ta thấy rằng sẽ không có một cấu trúc nào được tạo thành mà chỉ có sự hỗn độn chảy rối xuất hiện và chiếm toàn không gian trong khi đó năng lượng nhiễu động tăng nhanh tới cỡ năng lượng toàn phần của hệ và khi đó ta tìm lại được những quan sát của Lorenz.

Như vậy, những mô phỏng số chứng tỏ rằng hệ sẽ tiến triển rất khác nhau tùy theo ta tính tới một số nhỏ hay số lớn các bậc tự do: mặc dù do sự chảy rối hỗn độn ở thang nhỏ, qũy đạo của các hạt là không thể tiên đoán được, nhưng ta lại có thể tiên đoán được trường vận tốc của chất lưu, túc là không có sự nhạy cảm theo hàm mũ đối với các điều kiện ban đầu như hiện nay người ta vẫn tưởng…

Nhưng có thể phản bác lại rằng khí quyền phức tạp hơn một chất lưu tưởng hai chiều mà chúng ta nghiên cứu ở đây rất nhiều. Chúng ta có thể trả lời sự phản bác đó thế này: một mặt, khi xét cùng một hệ như Lorenz nhưng ta lại đi tới một kết luận ngược hẳn lại, mặt khác, những mô hình phức tạp gắn với dòng chảy thực của khí quyển hơn, cũng có cùng những tính chất như phương trình của chất lưu lỹ tưởng hai chiều (nghĩa là hôn độn ở thang nhỏ, không nên đoán được quỹ đạo của các hạt chất lỏng và sự hình thành các cấu trúc kết hợp). Thêm nữa, những cấu trúc kết hợp này đã được quan sát thấy trong khí quyến và đại dương.

Tóm lại, ta có thể kết luận rằng sự tăng trưởng của năng lượng nhiễu động không phải là hàm mũ mà thường xảy ra nhất chỉ là tuyến tính theothời gian. Điều này cũng phù hợp với những quan sát của các nhà khí tượng học. Do đó, sai số của dự báo không phải tăng gấp đôi mỗi khi thời gian tăng một lượng cho trước như Lorenztiên đoán mà là tàng tuyến tính, tức sai số tăng gấp dôi khi thời gian tăng gấp đôi. Những dự báo thời tiết sớm hai tuần không còn là giới hạn định mệnh nữa. Ta vẫn có thể làm những dự báo dài hạn nếu ta biết tốt hơn trạng thái ban đầu của khí quyển. Vì vậy ta có quyền hi vọng trong thời gian tới sẽ có những tiến bộ quan trọng về độ tin cậy trong những dự báo thời tiết, nhờ những máy tính mạnh hơn, mạng lưới các trạm quan sát dày đặc hơn và các mô hình hoàn chỉnh hơn.

Hiệu ứng con bướm đã trở thành câu cửa miệng, thậm chí cả trong kinh tế và xã hội học, mỗi khi người ta muốn nhấn mạnh sự không thể dự báo những hậu quả của các nhiễu động rất nhỏ. Từ những điều trình bày ở trên ta có thể khẳng định rằng trong những hệ phức tạp có một số lớn bậc tự do và ta cần phải dự báo những đại lượng trung bình thống kê, tức là các đại lượng vi mô, thì sự không ổn định kiểu hàm mũ của hệ vĩ mô hoàn toàn không đồng nghĩa với tính không tiên đoán được.